Mathematik der Arbeitsteilung
Vor einiger Zeit habe ich einen Artikel gelesen, in dem überzeugend dargelegt wurde, dass Arbeitsteilung selbst dann für beide Seiten vorteilhaft ist, wenn eine Seite alles besser als die andere kann. Ein entsprechendes Rechenbeispiel:
Tabelle 1
Mensch A benötigt zur Produktion von X 0.5h und zur Produktion von Y 0.3h. Mensch B ist mit beiden Produktionen langsamer, er benötigt jeweils 0.6h und 1.0h. Wenn beide allein vor sich hin werkeln, dann benötigen sie, um für sich jeweil X und Y herzustellen:
Fall 0:tA = tAX + tAY = 0.8h
tB = tBX + tBY = 1.6h
tAB = tA + tB = 2.4h
Die interessante Aussage in dem Artikel, den ich damals gelesen hatte, war, dass es auch für A von Vorteil ist, wenn er Produkt X von Mensch B produzieren lässt, obwohl dieser dafür länger braucht. Wie die folgende Rechnung zeigt, profitieren vom wechselseitigen Austausch tatsächlich beide:
Fall 1:tA = 2 * tAY = 0.6h
tB = 2 * tBX = 1.2h
tAB = tA + tB = 1.8h
A und B behalten jeweils eines ihrer identischen Produkte selbst und tauschen das andere gegen eins ihres Handelspartners. Eine Win-Win-Situation.
Ich habe überlegt, ob es Situationen gibt, in denen dieses Modell nicht stimmt. Und tatsächlich findet man recht leicht eins:Tabelle 2
Der Unterschied zur Tabelle 1 besteht jetzt darin, dass B für beide Produkte doppelt so lange braucht wie A. Ohne Arbeitsteilung ändert sich aber nichts, da sich die Summe der Zeiten in einer Zeile nicht geändert hat.
Wenn jetzt A und B beschließen zu kooperieren und Produkte auszutauschen, gibt es zwei Fälle: A kann entweder 2X oder 2Y herstellen und B entsprechend die Komplemente. Das ergibt:
Fall 2a:tA = 2 * tAY = 0.6h
tB = 2 * tBX = 2.0h
tAB = tA + tB = 2.6h
Fall 2b:tA = 2 * tAX = 1.0h
tB = 2 * tBY = 1.2h
tAB = tA + tB = 2.2h
Jetzt liegt offensichtlich ein Interessenkonflikt vor: Um die Gesamtproduktionszeit zu minimieren, müsste A mehr arbeiten, als wenn er allein produzieren und konsumieren könnte. Für ihn wäre es vorteilhaft, wenn er sich aus der Solidargemeinschaft verabschieden könnte. Für die Gesellschaft als Ganzes entstünde ein Schaden, für den Schwächeren sowieso.
Schaut man sich die beiden Fälle 1 und 2 noch einmal nach Gemeinsamkeiten an, dann fällt auf, dass es in beiden Fällen für die gesamte Gesellschaft die beste Lösung wäre, wenn der Schwächere die Entscheidung über die Arbeitsteilung trifft und nicht der sogenannte Leistungsträger. Weil die Entscheidung des Schwächeren optimal für die gesamte Gesellschaft wäre und nicht bloß für sich selbst. Der tieferliegende Grund ist auch recht leicht zu finden: Eine prozentual gleiche Steigerung der Produktivität hat bei einer schwächeren Ausgangsleistung einen größeren Effekt (hier sichtbar an der benötigten Arbeitszeit).
Politik, Mathematik & Logik
| X | Y | |
| A | 0.5h | 0.3h |
| B | 0.6h | 1.0h |
Mensch A benötigt zur Produktion von X 0.5h und zur Produktion von Y 0.3h. Mensch B ist mit beiden Produktionen langsamer, er benötigt jeweils 0.6h und 1.0h. Wenn beide allein vor sich hin werkeln, dann benötigen sie, um für sich jeweil X und Y herzustellen:
Fall 0:
tB = tBX + tBY = 1.6h
tAB = tA + tB = 2.4h
Die interessante Aussage in dem Artikel, den ich damals gelesen hatte, war, dass es auch für A von Vorteil ist, wenn er Produkt X von Mensch B produzieren lässt, obwohl dieser dafür länger braucht. Wie die folgende Rechnung zeigt, profitieren vom wechselseitigen Austausch tatsächlich beide:
Fall 1:
tB = 2 * tBX = 1.2h
tAB = tA + tB = 1.8h
A und B behalten jeweils eines ihrer identischen Produkte selbst und tauschen das andere gegen eins ihres Handelspartners. Eine Win-Win-Situation.
Ich habe überlegt, ob es Situationen gibt, in denen dieses Modell nicht stimmt. Und tatsächlich findet man recht leicht eins:
| X | Y | |
| A | 0.5h | 0.3h |
| B | 1.0h | 0.6h |
Der Unterschied zur Tabelle 1 besteht jetzt darin, dass B für beide Produkte doppelt so lange braucht wie A. Ohne Arbeitsteilung ändert sich aber nichts, da sich die Summe der Zeiten in einer Zeile nicht geändert hat.
Wenn jetzt A und B beschließen zu kooperieren und Produkte auszutauschen, gibt es zwei Fälle: A kann entweder 2X oder 2Y herstellen und B entsprechend die Komplemente. Das ergibt:
Fall 2a:
tB = 2 * tBX = 2.0h
tAB = tA + tB = 2.6h
Fall 2b:
tB = 2 * tBY = 1.2h
tAB = tA + tB = 2.2h
Jetzt liegt offensichtlich ein Interessenkonflikt vor: Um die Gesamtproduktionszeit zu minimieren, müsste A mehr arbeiten, als wenn er allein produzieren und konsumieren könnte. Für ihn wäre es vorteilhaft, wenn er sich aus der Solidargemeinschaft verabschieden könnte. Für die Gesellschaft als Ganzes entstünde ein Schaden, für den Schwächeren sowieso.
Schaut man sich die beiden Fälle 1 und 2 noch einmal nach Gemeinsamkeiten an, dann fällt auf, dass es in beiden Fällen für die gesamte Gesellschaft die beste Lösung wäre, wenn der Schwächere die Entscheidung über die Arbeitsteilung trifft und nicht der sogenannte Leistungsträger. Weil die Entscheidung des Schwächeren optimal für die gesamte Gesellschaft wäre und nicht bloß für sich selbst. Der tieferliegende Grund ist auch recht leicht zu finden: Eine prozentual gleiche Steigerung der Produktivität hat bei einer schwächeren Ausgangsleistung einen größeren Effekt (hier sichtbar an der benötigten Arbeitszeit).
Politik, Mathematik & Logik
Dienstag, 15.September 2009
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