Kwaku Ananse

Der erkenntnistheoretische Status der Mathematik ist deutlich von dem der Physik abgehoben. Auch diese macht reichlichen Gebrauch von Formalismen; aber ihre theoretischen Terme haben eine faktische Interpretation, und über diese trifft letztlich die Physik ihre Aussagen. Über deren Wahrheit entscheidet nur die Erfahrung (Beobachtung und Experiment). Damit ist die Physik unausweichlich vorläufig und revidierbar; eine apriorische Naturlehre gibt es nicht.

Dagegen gilt ein gelungener mathematischer Beweis für immer. Dies ist der Grund, warum die Wissenschaftsdynamik der Mathematik wesentlich kumulativ ist. Natürlich kann es über die Zulässigkeit bestimmter Beweismethoden eine metatheoretische Debatte geben, aber wenn man sich auf eine bestimmte Argumentationslogik geeinigt hat, kann die Geltung eines geglückten Beweises nicht mehr rational bestritten werden.

Die historisch älteste Deutung geht auf Pythagoras und Platon zurück. Danach bilden die formalen Gegenstände ein »eigenes Reich«, wie Gottlob Frege (1848-1925) es ausgedrückt hat, das ontologisch autonom, wohlunterschieden von den physikalischen und mentalen Zuständen der Natur für sich existiert. In der Neuzeit hat dieser »Platonismus« die Zustimmung vieler bedeutender kreativer Mathematiker gefunden, unter ihnen besonders Kurt Gödel (1906-1978).

Andere behaupten mit Aristoteles, dass die abstrakten Objekte keine autonome Existenz besitzen, sondern nur als formale innerliche Strukturen der Natur vorkommen.

Die Kantianer wiederum lokalisieren die mathematischen Gegenstände in der reinen Anschauung des transzendentalen, das heißt zu synthetischer Erkenntnis a priori fähigen Subjekts.

Gegenüber diesen verschiedenen Spielarten des »Realismus«, der Vorstellung, dass den mathematischen Gegenständen - außerhalb der uns umgebenden Welt, aber trotzdem - eine Realität zukomme, haben die Positivisten wie Ludwig Wittgenstein (1889-1951) eine skeptische Haltung bezogen. Sie hielten es eher mit dem Logizismus, wonach die Mathematik eigentlich nur verkleidete Logik sei. Aus dieser Reduktion auf die Logik beziehe sie auch ihre Gewissheit.

Eine radikale Reaktion auf die Grundlagenkrise der Mathematik war der Intuitionismus von Luitzen E. J. Brouwer (1881-1966). Dieser lehnte das aktual Unendliche grundsätzlich ab und damit auch alle Konzepte, die darauf aufbauen. Während die klassische Mathematik jede konsistente Struktur akzeptiert, duldet der Intuitionismus nur Gebilde, die ein individuelles Bewusstsein schrittweise in endlicher Zeit konstruieren kann. Die Mathematik steckt nach dieser Auffassung in dieser geistigen Tätigkeit (der »Intuition«), nicht etwa in den fertigen Symbolen. Diese sind nur das Vehikel der Mittteilung.

Ein zeitlich endliches Vernunftwesen kann danach nur das potenziell Unendliche erfassen. Also gilt die klassische Logik auch nur für endliche Mengen. Insbesondere darf das »Tertium non datur«, wonach jede Aussage an sich wahr oder falsch ist, nicht auf unendliche Gesamtheiten angewendet werden.
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Eine Zeit lang sah es so aus, als ob der Intuitionismus der sicherste Ausweg aus der Grundlagenkrise sei. Dann aber bewies Kurt Gödel 1932, dass man die klassische Logik und Arithmetik so in die intuitionistische übersetzen kann, dass sich dort alle gültigen Formeln, aber auch die Widersprüche wiederfinden.

Hier tut sich eine Parallele mit der Atomtheorie auf. Im 19. Jahrhundert dachte man lange Zeit, man dürfe aus empiristischen Gründen über Atome nur als Fiktionen sprechen, weil sich diese nicht direkt beobachten lassen. Dieser Redeweise haftet in der Physik wie in der Mathematik eine Künstlichkeit an. Es wirkt albern, wenn man von den Gegenständen seiner Wissenschaft immer nur so sprechen darf, »als ob« sie existierten.

Auf der anderen Seite wurde bis heute die Kritik des Philosophen Paul Benacerraf von der Princeton University nicht entkräftet, wonach der Gödelsche Realismus kausale Rätsel aufwirft. Jede empirische Erfahrung der materialen Objekte in der Physik kann physiologisch-ursächlich rekonstruiert werden. Wir können ein physikalisches Ereignis wahrnehmen, weil wir ebenso wie das Ereignis Teil der materiellen Welt sind und unsere Wahrnehmung mit dem Ereignis kausal verknüpft ist. Niemand hatte aber bisher eine Idee, wie mathematische Gegenstandserkenntnis ablaufen könnte, speziell wenn Gödel betont, »dass die Objekte der transfiniten Mengenlehre natürlich nicht zur physikalischen Welt gehören«. Wenn die formalen Gegenstände akausal und ohne Status in der Raumzeit existieren, wie sollen sie dann unsere mathematische Erfahrung hervorbringen?

Schließlich gibt es noch eine völlig andere Strategie, die anscheinend prästabilierte Harmonie von Natur und Zahl zu verstehen. Man macht gleich zu Beginn eine ontologische Kehrtwendung und erklärt die mathematischen Objekte für die primäre Realität. Demgegenüber ist die Realität der uns umgebenden Welt eine abgeleitete Größe. Diesen Weg hat Max Tegmark in jüngerer Zeit vorgeschlagen (Spektrum der Wissenschaft 8/2003, S. 34). Aus seiner Sicht sind alle konsistenten formalen Strukturen der Grundstoff, aus dem die Universen gemacht sind, wobei einige von ihnen die kontingente Eigenschaft besitzen, intelligente Substrukturen hervorzubringen.

Die alte philosophische Frage nach der Kontingenz der Welt - also der Frage, warum für dieses Universum gerade der uns bekannte Satz von Gleichungen bestimmend ist - lässt sich dann auflösen. Die ontologische Asymmetrie zwischen den physikalisch realisierten und den nicht verwirklichten Strukturen ist auf einen täuschenden Selektionseffekt zurückzuführen. Dieser kommt dadurch zu Stande, dass nicht in allen konsistenten Strukturen kognitive Systeme existieren können.

Wem allerdings eine solche gigantische Erweiterung der Realität - immerhin ist das Ensemble aller konsistenten mathematischen Strukturen sicher unendlich - zu spekulativ und gespenstisch erscheint, kann es inzwischen bei einem sparsameren Platonismus belassen. Damit kann man zwar nicht verstehen, warum die Natur gerade die heute gültigen Strukturen realisiert, aber doch, warum die Welt sich überhaupt mathematisch begreifen lässt.