Kwaku Ananse

In der Einleitung werden die Primzahlen als die Atome der Mathematik bezeichnet, weil sich analog den Molekülen in der Chemie aus den Primzahlen alle anderen (natürlichen) Zahlen zusammensetzen lassen. Trotz ihrer Einfachheit sind die Primzahlen aber sehr eigenartig, weil es keine Muster und keine Ordnung zu geben scheint, durch die sich das Erscheinen der nächsten Primzahl vorhersagen lässt, wenn eine Liste der kleineren Primzahlen vorliegt. An diesem Problem arbeiten die Mathematiker seit über 2000 Jahren. Das Buch "Die Musik der Primzahlen" zeichnet diesen Weg nach. Im Zentrum steht die Riemannsche Vermutung, von vielen als das größte Geheimnis der Mathematik bezeichnet. Das Buch ist deshalb vom Charakter her auch dem Buch Fermats letzter Satz von Simon Singh ähnlich, nur dass es etwa doppelt so dick ist und die Riemannsche Vermutung eine viel größere theoretische und praktische Bedeutung hat als Fermats Satz.

Da die Primzahlen so eine zentrale Rolle in der Mathematik spielen, ist es nicht verwunderlich, dass einem nahezu alle bekannten Mathematiker der Vergangenheit im Buch begegnen. Die der Gegenwart kennt man kaum, wenn man mal von Paul Erdös, Andrew Wiles und Grigori Perelman absieht. Aufbauend auf den Arbeiten von Gauss, Dirichlet und Euler hat sich Riemann eingehend mit der Zeta-Funktion beschäftigt. Diese Funktion stellt eine unendliche Summe von Kehrwerten aller natürlichen Zahlen dar:


Die s sind dabei beliebige komplexe Zahlen. Das Phantastische ist jetzt, dass man diese Gleichung so umformen kann, dass aus der Summe über alle natürlichen Zahlen ein Produkt über alle Primzahlen wird:


Die natürlichen Zahlen sind im Prinzip alle bekannt (es sind "abzählbar" unendlich viele), während für sehr große Zahlen nicht bekannt ist, ob sie prim sind oder nicht. Bernhard Riemann hat sich mit den Eigenschaften dieser Funktion beschäftigt. Setzt man für s eine beliebige komplexe Zahl ein, dann kann man den zugehörigen Funktionswert Zeta berechnen. Eine grafische Darstellung dieser Funktion für einen Teil ihres Funktionsbereichs:


Dabei entspricht die Nord-Süd-Achse dem Imaginärteil von s, die Ost-West-Achse dem Realteil. Bei s=(0,1) hat die Funktion eine Polstelle, der Funktionswert ist dort unendlich groß. Alle übrigen lokalen Maxima sind endlich. Riemann hat die Nullstellen der Funktion gesucht. Trivial zu finden sind die Nullstellen bei den negativen geraden ganzen Zahlen s=-2, -4, -6, ... Und man kann auch recht leicht beweisen, dass sich die übrigen Nullstellen in einem Bereich für den Realteil zwischen 0 und 1 befinden müssen. Die Riemannsche Vermutung von 1859 lautet nun: "Alle Nullstellen haben einen Realteil von ½." D.h. sie liegen alle auf einer Geraden. Grafische Darstellungen des Funktionsverlaufs findet man in der Wikipedia im Artikel Riemannsche Vermutung.

Warum nun ein ganzes populärwissenschaftliches Buch über diese Gleichung und ihre Nullstellen? Dafür gibt es sehr viele verschiedene Gründe: Zum einen, wie schon erwähnt, wegen der zentralen Rolle der Primzahlen in der Zahlentheorie. Dann, weil über dieses Problem praktisch alle großen und bekannten Mathematiker nachgedacht und daran gearbeitet haben. Dann, weil heute viele Beweise in der Zahlentheorie davon ausgehen, dass die Riemannsche Vermutung wahr ist. Wird in der Zukunft eine Widerlegung gefunden, dann ist ein großer Teil der zeitgenössischen Mathematik falsch. Dann auch wegen der enormen Bedeutung, die Primzahlen heute in der Kryptografie spielen. Die Sicherheit vieler Vorgänge im Internet basiert darauf, dass Primzahlen bestimmte Eigenschaften haben und andere Eigenschaften nicht haben.

Und dann gibt es dann noch den interessanten Querbezug zu Gödel. Der hatte Hilberts Versuch, die Mathematik auf eine sichere axiomatische Grundlage zu stellen, den Todesstoß versetzt, in dem er zeigen konnte, dass es innerhalb jedes Axiomensystems Aussagen geben kann, deren Wahrheitsgehalt weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Ist nun die Riemannsche Vermutung von diesem Typ, d.h. ist sie zwar wahr, aber kann diese Wahrheit nicht bewiesen werden? Gödel selbst wurde dazu befragt, er glaubt nicht, dass sie von diesem Typ ist. Aber - und diese Passage im Buch hat mich fast umgehauen – inzwischen gibt es in der Mathematik einen Satz, zu dem zwei verschiedene Beweise existieren: Der Beweis 1 ist gültig unter der Voraussetzung, dass die Riemannsche Vermutung richtig ist. Beweis 2 wiederum ist gültig unter der Voraussetzung, dass die Riemannsche Vermutung falsch ist. Was sagt das über die wechselseitigen Abhängigkeiten der Axiome der Zahlentheorie, diesen Satz und die Riemannsche Vermutung aus? Schwer zu verstehen, aber dann doch sehr erhellend ist folgender Absatz im Buch:

Sollte Cohen derselbe Erfolg beschieden sein und er beweisen können, dass sich die Riemannsche Vermutung nicht aus den Axiomen der Mathematik entscheiden lässt, dann hat er tatsächlich gezeigt, dass die Vermutung wahr ist! Wenn die Vermutung unentscheidbar ist, dann ist sie entweder falsch, und wir können es nicht beweisen, oder sie ist wahr, und wir können es nicht beweisen. Doch wenn sie falsch ist, dann gibt es irgendwo eine Nullstelle außerhalb der kritischen Geraden. dann aber können wir beweisen, dass die Riemannsche Vermutung falsch ist. Die Riemannsche Vermutung kann nicht falsch sein, ohne dass wir dies auch beweisen können. Sollte die Riemannsche Vermutung tatsächlich unentscheidbar sein, muss sie wahr sein, ohne dass wir jedoch einen Beweis dafür finden können, dass sich alle Nullstellen auf der kritischen Geraden befinden.

Im letzten Teil des Buchs wird über aktuelle Beweisideen gesprochen. Einigen Physikern war aufgefallen, dass viele statistische Eigenschaften der bereits berechneten Nullstellen (die Verteilung ihrer Abstände) Eigenschaften der Elektronenverteilung in Atomen ähneln. Das klingt auch in dem Abschnitt "Beweisideen aus der Physik" im entsprechenden Wikipedia-Artikel über die Riemannsche Vermutung an. Für mich wirft aber diese Idee neue Fragen auf, u.a. nach dem Verhältnis der Mathematik zu den Naturwissenschaften auf der einen Seite und zur Natur auf der anderen Seite. Die zweite dieser Fragen schließt den Bogen zum Beginn des Buchs, in dem die Primzahlen als die Atome der Mathematik bezeichnet wurden. In demselben Abschnitt findet man auch das Folgende:

Ist die Mathematik eher ein Akt der Schöpfung oder eine Form des Entdeckens? Viele Mathematiker schwanken zwischen der Empfindung, schöpferisch tätig zu sein, und dem Gefühl, absolute wissenschaftliche Wahrheiten zu entdecken. Mathematische Ideen können oft sehr persönliche Züge annehmen un von der Kreativität des Geistes, dem sie entspringen, abhängen. Andererseits ist man davon überzeugt, dass aufgrund des logischen Charakters der Mathematik alle Mathematiker in derselben mathematischen Welt mit ihren unveränderlichen Wahrheiten leben. ... wurden von Hardy sehr treffend beschrieben: "Ich glaube, dass die mathematische Wirklichkeit außerhalb von uns liegt und dass unsere Aufgabe darin besteht, diese Wirklichkeit zu entdecken oder zu beobachten. Die von uns bewiesenen Theoreme, die wir hochtrabend als unsere bezeichnen, sind einfach die Aufzeichnungen unserer Beobachtungen."

Ein wirklich spannendes Buch, dass (nur keine Angst!) proportional zur Textlänge weniger Gleichungen enthält als mein Artikel.

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