Kwaku Ananse

Paenza ist Mathematikprofessor und hat in Argentinien eine eigene Sendereihe moderiert, über Mathematik. Viele der dort erzählten Geschichten, Anekdoten und Aufgaben hat er in seinem Buch aufgeschrieben. Einige Geschichten, Aufgaben und manche Anekdoten kannte ich schon, viele andere aber waren auch für mich neu, so zum Beispiel sein "Beweis", dass alle natürlichen Zahlen "interessante" Zahlen sind:

Was soll das heißen, dass eine Zahl interessant ist? Sagen wir, eine Zahl ist interessant, wenn sie einen gewissen Reiz hat, etwas, das sie auszeichnet, etwas, womit sie es verdient, sich von den anderen abzusetzen; dass sie irgendeine Verzierung oder Besonderheit hat.
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Die Zahl Eins ist interessant, weil sie die allererste ist. Sie zeichnet sich durch die Tatsache aus, dass sie die kleinste aller natürlichen Zahlen ist. Die Zahl Zwei ist die erste gerade Zahl, und sie ist die erste Primzahl. Die Zahl Drei ist ebenfalls interessant, weil sie die erste ungerade Primzahl ist. Die Zahl Vier ist interessant, weil sie eine Potenz von zwei ist. ...

So geht das noch eine ganze Weile weiter, der Leser wird langsam eingelullt, ehe die eigentliche Beweisidee kommt, die mit dem vorangegangenen nichts zu tun hat:

Nehmen wir an, es gäbe Zahlen, die wir als uninteressant bezeichnen. Diese Zahlen legen wir in eine Tasche (die Tasche ist nicht leer). Damit haben wir eine Tasche voll uninteressanter Zahlen. Das führt jedoch zu einem Widerspruch. Da alle Zahlen in dieser Tasche natürliche, das heißt positive ganze Zahlen sind, muss es ein erstes Glied geben, sprich, eine Zahl, die kleiner ist als alle anderen. Das macht die vermeintlich uninteressante Zahl aber bereits interessant. Das Argument, dass sie die erste aller uninteressanten Zahlen wäre, ist mehr als ausreichend, um sie als interessant zu bezeichnen.

Die Logik ist richtig: Da es keine kleinste uninteressante Zahl gibt, kann es überhaupt keine uninteressanten Zahlen geben. Dieser Beweis erinnert an den den Satz von Euklid, dass es keine größte Primzahl geben kann. Es ist ein typischer Widerspruchsbeweis.

Natürlich fehlen in seinem Buch die Klassiker nicht, z.B. der Beweis, dass Wurzel 2 eine irrationale Zahl ist. Neu für mich war ein Beweis, dass es beliebig große Lücken zwischen zwei Primzahlen geben kann und wie man diese Lücken findet. Sehr gelungen fand ich die Abschnitte über die Cantorsche Mengenlehre (z.B. das bekannte Hotel Hilbert) und die Überlegungen, die Bertrand Russell fast in den Wahnsinn getrieben haben und deren bekannteste vielleicht in dem Barbierparadoxon formuliert ist. Bei Paenza findet man ähnliche Beispiele:

Auch wenn es der Intuition zu widersprechen scheint, dachte Russell auch an Mengen, die doch sich selbst als Elemente enthalten. Zum Beispiel: Die Menge aller Dinge, die keine Teelöffelchen sind. Diese Menge enthält auch Löffelchen, gewiss, aber keine für Tee, sowie Gabeln, Fußballspieler, Bälle, Kissen, verschiedene Flugzeugtypen usw. Alles außer Teelöffelchen.

Klar ist, dass diese neue Menge (die, die aus allem besteht, was kein Teelöffelchen ist) kein Teelöffelchen ist! Und demnach, weil sie kein Teelöffelchen ist, muss sie ein Element von sich selbst sein.

Die heutige Mathematik hat dieses Paradoxon von Russell pragmatisch gelöst: "Jede Menge, die sich selbst als Element enthält, ist keine Menge." So wie ich das verstehe, ist das ein neues Paradoxon.

Eines meiner Lieblingsrätsel, das auch im Buch diskutiert wird, ist das Problem von Monty Hall. Es hat einen gehörigen Teil zur Popularität von Marilyn vos Savant beigetragen, der Frau mit dem angeblich höchsten IQ der Welt, siehe in der Wikipedia auch unter dem Ziegenproblem.

Ich erspare mir hier, das Problem nochmals zu schildern, man kann es ja über die Links nachlesen. Ich hätte mich in diesem Fall auch in die lange Riege der "Professoren und Akademiker" eingereiht, die MvS hätten davon überzeugen wollen, "dass sie im Unrecht sei".

Paenza ist sehr an einer Popularisierung der Mathematik gelegen, also reflektiert er auch das Ansehen der Mathematiker in der Gesellschaft und wie ihrerseits die Mathematiker selbst die Welt sehen. Und dafür verwendet er – natürlich - mathematische Logik. Wie steht es zum Beispiel mit dem häufig verwendeten Satz "Ausnahmen bestätigen die Regel"? Sein Beispiel:

Wenn man sagt "Alle natürlichen Zahlen sind größer als sieben" und beansprucht, dass dies eine Regel sei, weiß man auch, dass dies nicht für alle möglichen Fälle wahr ist. Mehr noch: Man kann eine Liste der Zahlen erstellen, die die Regel nicht erfüllen:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

Diese sieben Zahlen sind nicht größer als sieben. Auf jeden Fall sind sie Ausnahmen der Regel.

Wie sinnlos der Satz "Ausnahmen bestätigen die Regel" ist, zeigt dann der folgende Dialog:

"Man hat mir diese natürliche Zahl gegeben."
"Pass auf, dann ist sie größer als sieben."
"Nein, man hat mir die Vier gegeben."
"Dann ist dies eine Ausnahme, die die Regel bestätigt."

Paenza hat Recht, dieser Dialog zeigt die völlige Sinnlosigkeit des Alltagssatzes. Wie kann die Vier bestätigen, dass die natürlichen Zahlen erst ab sieben beginnen?

Am Ende des Buches hat Paenza ein Kapitel angefügt "Warum schrieb ich dieses Buch?"

Es ist immer wieder die gleiche Geschichte. Egal wo, egal bei wem, egal wie, immer gibt es genügend Raum, dem Hass gegenüber der Mathematik Ausdruck zu verleihen. Aber warum? Warm erzeugt sie so viele feindliche Reaktionen? Warum hat sie eine so schlechte Presse?
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Die Mathematik ist eine Art "das da" oder vielleicht "diejenige", die in den Schulen und Universitäten nicht gerade allgegenwärtig ist und sich als das universelle Folterinstrument präsentiert. Die Mathematik ist ein Synonym für fast alle traurigen Momente unseres schulischen Wachstums. Sie ist ein Synonym für Frustration.
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Zu lehren, Freude an der Mathematik zu haben, zu denken, ein Problem zu haben, darin zu schwelgen, auch wenn man die Lösung nicht finden kann, schlicht eine Herausforderung zu haben – darin besteht die Aufgabe der Lehrenden. ... Ich spreche von der Magie, denken zu können, dem Zauber, das zu zeigen, was man nicht weiß, von der Herausforderung des Geistes. Das ist es was der Mathematik fehlt: Fürsprecher.

Die Begeisterung, die in diesen Worten mitschwingt, durchzieht das gesamte Buch. Es ist wirklich nicht schwierig zu lesen und zu verstehen.

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