Kwaku Ananse

Donnerstag kam mein Kollege mit einer Matheaufgabe zu mir, die seine Tochter aus der Schule mitgebracht hatte:



Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die rot markierten Strecken b und p gegeben sind. Daraus sollen alle anderen Strecken berechnet werden. Die Tochter meines Kollegen hatte es im Unterricht nicht kapiert, mein Kollege es ihr auf die Schnelle auch nicht erklären können, deshalb kam er zu mir. Am Donnerstag kurz vor dem Schlafengehen fiel mir die Aufgabe wieder ein. Ich setzte mich kurz an den Küchentisch, kritzelte ein wenig mit Sinus und Kosinus auf einem Blatt Papier herum, die Gleichungen längten sich. "Ok", dachte ich, "du bist zu müde. Geh' ins Bett und lass dein Unterbewusstsein die Aufgabe lösen!" Als ich am Morgen aufwachte, hatte ich die Aufgabe vergessen, mein Unterbewusstsein offensichtlich auch, es hatte nachts wohl keine Lust gehabt, jedenfalls fiel mir das Problem erst wieder ein, als ich die vollgekrakelten Zettel auf dem Tisch liegen sah.

In der Wikipedia findet man auf der Seite über das Dreieck die lapidare Aussage, dass tatsächlich zwei der sechs Strecken ausreichen, um die vier anderen zu berechnen. Und dann noch ein paar Formeln: Satz des Pythagoras, Höhensatz, Kathedensatz. Es scheint lange her zu sein, außer dem Pythagoras sagte mir das alles nichts. Und Herleitungen stehen in der Wikipedia auch keine. Also ausgeschlafen nochmal ans Werk!

Schaut man sich das Dreieck genauer an, dann erkennt man, dass sich die Winkel α und β links bzw. rechts unten im Dreieck oben nochmal wiederholen. α und β ergänzen sich wegen der Winkelsumme im Dreieck von 180° zu 90°, deshalb teilen sie oben im Dreieck den rechten Winkel nochmal entsprechend auf. Das Dreieck wird deshalb durch die Strecke h (die rechtwinklig nach oben laufende Höhe) in zwei Teildreiecke geteilt, die dem großen Dreieck ähnlich sind. D.h. die Streckenverhältnisse in den kleinen Dreiecken sind dieselben wie im Gesamtdreieck:



Die Zusammenhänge kann man in einer Tabelle darstellen:

		Dreieck A	Dreieck B	Dreieck C
Hypothenuse	1	c	b	a
lange Kathede	2	b	q	h
kurze Kathede	3	a	h	p

Der Witz an der Tabelle ist, dass man sich einfach je zwei Spalten und zwei Zeilen herauspicken kann und mit ihnen eine Verhältnisgleichung bilden. (Man kann sich das auch mit dem Strahlensatz erklären.) Zum Beispiel:

A+B+1+2: c/b=b/q ergibt umgestellt: b²=c*q (laut Wikipedia einer der beiden Kathedensätze)
A+C+1+3: c/a=a/p ergibt umgestellt: a²=c*p (der zweite Kathedensatz)
B+C+2+3: q/h=h/p ergibt umgestellt h²=p*q (das Ding heißt Höhensatz)

Jetzt fehlt noch der Satz des Pythagoras, dazu addiert man die beiden Kathedensätze:

a²+b²=c*p+c*q=c(p+q)

Beim scharfen Hinsehen aufs Dreieck erkennt man, dass p+q=c, also ist damit auch der Satz des Pythagoras hergelitten.

Nach dieser Aufwärmung findet man leicht die Lösung der Ursprungsaufgabe. Man nimmt den Kathedensatz b²=c*q und setzt für q einfach c-p ein:

b²=c(c-p)

Das ist eine quadratische Gleichung für c, denn b und p sind die beiden gegebenen Längen. Von den beiden Lösungen der quadratischen Gleichung ignoriert man die negative, die positive ist die richtige. Damit kriegt die Tochter sicher die anderen Größen auch allein heraus.

Hat mir Spaß gemacht, Herr Kollege, give me more!

Kategorien: Mathematik & Logik