Balancieren am Rande des Dreiecks
Donnerstag kam mein Kollege mit einer Matheaufgabe zu mir, die seine Tochter aus der Schule mitgebracht hatte:
In der Wikipedia findet man auf der Seite über das Dreieck die lapidare Aussage, dass tatsächlich zwei der sechs Strecken ausreichen, um die vier anderen zu berechnen. Und dann noch ein paar Formeln: Satz des Pythagoras, Höhensatz, Kathedensatz. Es scheint lange her zu sein, außer dem Pythagoras sagte mir das alles nichts. Und Herleitungen stehen in der Wikipedia auch keine. Also ausgeschlafen nochmal ans Werk!
Schaut man sich das Dreieck genauer an, dann erkennt man, dass sich die Winkel α und β links bzw. rechts unten im Dreieck oben nochmal wiederholen. α und β ergänzen sich wegen der Winkelsumme im Dreieck von 180° zu 90°, deshalb teilen sie oben im Dreieck den rechten Winkel nochmal entsprechend auf. Das Dreieck wird deshalb durch die Strecke h (die rechtwinklig nach oben laufende Höhe) in zwei Teildreiecke geteilt, die dem großen Dreieck ähnlich sind. D.h. die Streckenverhältnisse in den kleinen Dreiecken sind dieselben wie im Gesamtdreieck:
Der Witz an der Tabelle ist, dass man sich einfach je zwei Spalten und zwei Zeilen herauspicken kann und mit ihnen eine Verhältnisgleichung bilden. (Man kann sich das auch mit dem Strahlensatz erklären.) Zum Beispiel:
A+B+1+2: c/b=b/q ergibt umgestellt: b2=c*q (laut Wikipedia einer der beiden Kathedensätze)
A+C+1+3: c/a=a/p ergibt umgestellt: a2=c*p (der zweite Kathedensatz)
B+C+2+3: q/h=h/p ergibt umgestellt h2=p*q (das Ding heißt Höhensatz)
Jetzt fehlt noch der Satz des Pythagoras, dazu addiert man die beiden Kathedensätze:
a2+b2=c*p+c*q=c(p+q)
Beim scharfen Hinsehen aufs Dreieck erkennt man, dass p+q=c, also ist damit auch der Satz des Pythagoras hergelitten.
Nach dieser Aufwärmung findet man leicht die Lösung der Ursprungsaufgabe. Man nimmt den Kathedensatz b2=c*q und setzt für q einfach c-p ein:
b2=c(c-p)
Das ist eine quadratische Gleichung für c, denn b und p sind die beiden gegebenen Längen. Von den beiden Lösungen der quadratischen Gleichung ignoriert man die negative, die positive ist die richtige. Damit kriegt die Tochter sicher die anderen Größen auch allein heraus.
Hat mir Spaß gemacht, Herr Kollege, give me more!
Kategorien: Mathematik & Logik
In der Wikipedia findet man auf der Seite über das Dreieck die lapidare Aussage, dass tatsächlich zwei der sechs Strecken ausreichen, um die vier anderen zu berechnen. Und dann noch ein paar Formeln: Satz des Pythagoras, Höhensatz, Kathedensatz. Es scheint lange her zu sein, außer dem Pythagoras sagte mir das alles nichts. Und Herleitungen stehen in der Wikipedia auch keine. Also ausgeschlafen nochmal ans Werk!
Schaut man sich das Dreieck genauer an, dann erkennt man, dass sich die Winkel α und β links bzw. rechts unten im Dreieck oben nochmal wiederholen. α und β ergänzen sich wegen der Winkelsumme im Dreieck von 180° zu 90°, deshalb teilen sie oben im Dreieck den rechten Winkel nochmal entsprechend auf. Das Dreieck wird deshalb durch die Strecke h (die rechtwinklig nach oben laufende Höhe) in zwei Teildreiecke geteilt, die dem großen Dreieck ähnlich sind. D.h. die Streckenverhältnisse in den kleinen Dreiecken sind dieselben wie im Gesamtdreieck:
| Dreieck A | Dreieck B | Dreieck C | ||
| Hypothenuse | 1 | c | b | a |
| lange Kathede | 2 | b | q | h |
| kurze Kathede | 3 | a | h | p |
Der Witz an der Tabelle ist, dass man sich einfach je zwei Spalten und zwei Zeilen herauspicken kann und mit ihnen eine Verhältnisgleichung bilden. (Man kann sich das auch mit dem Strahlensatz erklären.) Zum Beispiel:
A+B+1+2: c/b=b/q ergibt umgestellt: b2=c*q (laut Wikipedia einer der beiden Kathedensätze)
A+C+1+3: c/a=a/p ergibt umgestellt: a2=c*p (der zweite Kathedensatz)
B+C+2+3: q/h=h/p ergibt umgestellt h2=p*q (das Ding heißt Höhensatz)
Jetzt fehlt noch der Satz des Pythagoras, dazu addiert man die beiden Kathedensätze:
a2+b2=c*p+c*q=c(p+q)
Beim scharfen Hinsehen aufs Dreieck erkennt man, dass p+q=c, also ist damit auch der Satz des Pythagoras hergelitten.
Nach dieser Aufwärmung findet man leicht die Lösung der Ursprungsaufgabe. Man nimmt den Kathedensatz b2=c*q und setzt für q einfach c-p ein:
b2=c(c-p)
Das ist eine quadratische Gleichung für c, denn b und p sind die beiden gegebenen Längen. Von den beiden Lösungen der quadratischen Gleichung ignoriert man die negative, die positive ist die richtige. Damit kriegt die Tochter sicher die anderen Größen auch allein heraus.
Hat mir Spaß gemacht, Herr Kollege, give me more!
Kategorien: Mathematik & Logik
Samstag, 17.Mai 2008
Also ich liebe ja solche Probleme
Es gilt:
b^2 = q^2 + h^2
Ferner gilt: h^2 = p * q
...
b^2 = q^2 + p * q
damit ergibt sich die quadratische Gleichung für q:
q^2 + pq - b^2 = 0
bzw. q = -p/2 +- Wurzel aus ( (p^2 + 4 * b^2)/4)
c = p+q usw...
Dafür braucht man genauso lange, um es herunter zu tippen.
Die Gleichung h^2 = p* q benötigt man auch in der Darstellenden Geometrie. (Sekantensatz)
Das ist übrigens ein gutes Beispiel für ein Einstellungsgespräch. Wer es nicht lösen kann, bekommt keinen Job als Programmierer:)
Ein Glück,
seinwerden möchte...das ist das, was ich über das Modellieren gesprochen habe. es gibt ein relativ einfaches Problem, sogar ein anschauliches. es gibt Nachschlagmöglichkeiten.
Man muss nicht einmal lange forschen.
Satz des Pythagoras und Euklids Höhensatz reichen bereits aus - mit der Mittelschulalgebra der dritten Klasse.
-
Ich kenne eine Programmteil in einem Versicherungspaket, der wurde mit ca 6 000 000 € beauftragt. (es war in den Neunziger-Jahren, aber es wäre auch heute noch viel Geld).
Dann musste ein Parameter geändert werden. Von 3% auf 4%. Die Änderung kostete noch einmal 1,2 Millionen €.
-
Parnas hat schon geschrieben. Es ist ein Problem, dass Informatiker keine Mathematiker sind. Manches was sie programmieren, ist schon deswegen schlecht, weil sie kein Anschauungsvermögen besitzen und formale Gesetzmäßigkeiten herausarbeiten können.
Deine Lösung ist nicht kürzer. Du benutzt zwei Gleichungen und setzt beide zu einer quadratischen Gleichung zusammen. Das habe ich genauso gemacht. Ich habe nur zuvor die Voraussetzungen zum Lösen aller Aufgaben am rechtwinkligen Dreieck aufgeschrieben. - Ich glaube, ich würde dich nicht einstellen, wenn du so stromlinienförmig nur das gestellte Problem löst. ;-)
@köppnick
..
..
In der Wikipedia findet man auf der Seite über das Dreieck die lapidare Aussage, dass tatsächlich zwei der sechs Strecken ausreichen, um die vier anderen zu berechnen. Und dann noch ein paar Formeln: Satz des Pythagoras, Höhensatz, Kathedensatz.
Ich beziehe mich auf deinen Text und deine Ausführungen, die etwas mit Sinus und Cosinus versucht hatten. Deine Generalisierung in Ehren - aber die war in diesem Beispiel nicht gefragt. Nicht von der Schülerin. Im Allgemeinen finde ich es gut, wenn jemand die allgemeine Situation betrachtet.
-
Aber jetzt im Ernst: wenn Du nicht der Schlechteste in Mathematik bist, dann halte ich dein Zugeständnis für ein fürchterliches Urteil über die Schule, in die Du gegangen bist. Nicht weil man die Formeln kennen sollte. Dafür gibt es Wikipedia. Sondern weil die Überlegungen am rechtwinkligen Dreieck Grundlagen für soviele abgeleitete mathematische Überlegungen sind. Und diese sind anschaulich.
-
Ich nehme einmal an, dass Du ungefähr zwanzig Jahre jünger bist als ich, (Ich bin 56) vielleicht noch jünger. Was Du einmal in Mathematik gelernt hast, solltest Du doch noch in den wesentlichen Grundzügen kennen, denke ich mal. Ich nehme also einmal an, dass man euch etwas anderes unterrichtet hat, als uns. Ein Bekannter hat mir aber vor kurzem mitgeteilt, dass der Schulplan des Mathematikunterrichts seit Jahrzehnten in Österreich nicht geändert wurde. Also sollten Österreicher das Problem dann leichter lösen können.
-
Zur Anstellung:
Die Problematik beim Job liegt darin, dass es manchmal Aufgabenstellungen gibt, bei denen man mehrere Lösungen beurteilen soll. Manchmal muss man aber etwas schnell umsetzen können.
Eine derartige Frage muss vom Bewerber nicht gelöst werden, ohne dass er die Möglichkeit hätte, Rückfragen zu stellen. Ich würde ihm daher gegebenenfalls die Formeln zur Verfügung stellen, wenn er mir sagt, was sein Hauptproblem ist.
Programmierereinstellungstests können weitaus "gemeiner" sein. So werden bei "Google" Algorithmen abgefragt, die in der begrenzten Zeit unlösbar sind, es sei denn, man hat den Algorithmus schon einmal selber verwendet. Es kommt nur auf die Art der Fragestellung des Bewerbers an.
Oder es werden Fragen gestellt, welche Ausnahmefälle der Java-Virtual-Engine betreffen, die man nur weiss, wenn man sich einmal durch die gesamte Dokumentation durchgelesen hat.
-
In welchem Feld programmierst denn Du?
Mein Matheunterricht war topp
Das mit dem Sinus und Cosinus bezog sich darauf, dass mir als erstes die Ersetzbarkeit von Sinus und Cosinus eingefallen war, dass man durch Gleichsetzen alle Winkel eliminiert und dann die Streckenverhältnisse übrig bleiben. Dasselbe Ergebnis bekommt man aber gleich, wenn man die Ähnlichkeit der Dreiecke verwendet oder, was dasselbe ist, den Strahlensatz.
Merkwürdig
Ein bisschen beneide ich dich um die Gelegenheit, heute digitale Bildverarbeitung zu programmieren. Ich war 1980 bis 1986 ein Spezialist für Bildanalyse und Mikrospektralphotometrie, inklusive Patenten.
Ich kann mich noch gut an den Objektisolationsalgorithmus erinnern, den ich einer DDR-Doktorarbeit entnommen hatte. Den verwendete ich dann auf meinem Messgerät. Hatte ich damals in FORTH umgesetzt. Nur zur Anschauung: 1980 dauerte eine schwarz-weiss-Erosion auf einem 512*512 Bild 20 Sekunden auf einer Data General Nova. Man konnte praktisch zusehen dabei.
Von 1974 bis 1989 war ich mit Elektronik und Software beschäftigt, die dem Menschen half (Medizintechnik). Aber nach meinem Ausflug in die Musikwelt landete ich später in einer betrieblichen IT-Umgebung. Die ist zwar ebenfalls komplex, aber auf eine ganz andere Art. Und deren Programmierer kann man mit dir oder deinen Kollegen überhaupt nicht vergleichen.
-
Weißt Du, das Missverständnis bezüglich der Einfachheit von Lösungen liegt darin, dass die Trigonometrie erst viel später bei uns im Lehrplan kommt, als der Unterrichtsstoff, mit dem man das Problem lösen kann.
Den Strahlensatz kennt man zwar dann auch schon, aber im Wesentlichen kommt es ja darauf an, die quadratische Gleichung lösen zu können. Und das gibt es dann erst in der Vierten, glaube ich.
Übrigens bin ich vielleicht auf solche Probleme leicht fixiert. Das tritt seit der Lektüre eines Buches von Wapner verstärkt auf. Die Ausführungen über Scherenkongruenz mit dem Beispiel, dass man aus einem beliebigen Vieleck ein flächengleiches Quadrat auf geometrische Weise herleiten kann, haben mich fasziniert. Da kommt man bei den Umformungen ganz automatisch auf den Höhensatz.
Auf keinen Fall war von meiner Seite Geringschätzung im Spiel.
Ich glaube nicht, dass es wichtig ist, viel zu wissen (im Sinne von "aufsagen zu können"). Aber es ist nützlich ein paar Methoden zu haben, mit denen man eine Aufgabe analysieren kann und einen Lösungsweg suchen. Wenn man dann ein bisschen Zeit drauf verwendet, werden die Lösungen immer kürzer und eleganter und man versteht auch das Umfeld. Im obigen Fall eben, dass die verschiedenen Sätze über das Dreieck sich aus den Streckenverhältnissen leicht ableiten lassen. Ich habe gerade gelesen, dass es ein Buch gibt, in dem über 200 verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras versammelt sind. In jedem dieser Sätze stecken andere interesssante Ideen und Vorgehensweisen. Man braucht selbst aber nur auf eine einzige Idee, dann hat man den Satz wieder.
Von Theoretischer Elektrotechnik weiß ich nichts mehr. Außerdem ist es ja so, dass man generell nach einem Studium eigentlich nichts weiß - aber man hat ein paar Arbeitsmethoden gelernt.
ich muss dir wohl recht geben
Sie gaben allerdings auch zu, dass es in Wirklichkeit schon im Bereich des für sie Lösbaren wäre.
Also resigniere ich.
Dann frage ich halt in Zukunft nur mehr Exceptions, Interfaces und den Unterschied zwischen seriazable und externizable ab.
Und die Standardabfrage:
s1 = new String("Hallo");
s2 = new String("Hallo");
s1 == s2 ist true or false?
Mein Kollege hat sich meine Überlegungen durchgelesen und daraufhin nochmals mit seiner Tochter gesprochen. Ihre beiden Kommentare: "Wir kennen noch keine quadratische Gleichung" und "Der Lehrer hat versprochen, dass solche Aufgaben nicht in der nächsten Klassenarbeit vorkommen". Jetzt verstehe ich auch, was Paenza meinte, als er sagte, die Lehrenden seien schuld, wenn viele Mathematik frustrieren würden.
Deswegen gilt "true".
Wenn einer "false" sagt, heißt das noch nicht, dass er kein Java kann. Er hat eben nur nicht das Kleingedruckte gelesen.
Ich habe es auch nicht gewusst. Aber es gehört zu den Dingen, die man nur einmal hören muss, um sie sich zu merken. Weil es so gegen den Strich geht.
Die Übersetzung von C++ nach Java lautet:
s1==s2 --> s1.equals(s2)
*s1==*s2 --> s1==s2
Ist natürlich eine merkwürdige Falle, für jemanden, der sich in mehreren Sprachen aufhalten muss.