Kwaku Ananse

Normalerweise lese ich ja Artikel über sogenannte "Top"models nicht, aber wenn „Matherätsel“ in der Überschrift steht, interessiert es mich doch. Der Zusammenhang zwischen Intelligenz und Schönheit gehört zu den am wenigsten untersuchten Phänomenen, was wohl vor allem an dem seltenen gemeinsamen Auftreten dieser beiden Persönlichkeitsattribute liegen wird. Die junge Frau in dem Telepolisartikel Das Topmodel, das Matherätsel und die toten Gewerkschafter studiert Mathematik und sollte das folgende Rätsel lösen:

Die Kinder einer Dorfschule werden aufgefordert, sich in Dreierreihen auf dem Schulhof aufzustellen. Da zwei Kinder übrig bleiben, ordnet der Lehrer an, sie sollen sich in Viererreihen aufstellen. Wieder bleiben zwei Kinder übrig und der Lehrer ordnet an, sie sollen sich in Fünferreihen aufstellen. Jetzt geht es auf. Wie viele Kinder sind in der Schule?

Die Telepolismannschaft hat das Ganze in einem Video festgehalten:


Ich denke, unter den gegebenen Umständen hatte sie keine Chance es herauszubekommen: Die Aufgabe wurde vorgelesen, sie hatte nichts zu schreiben, der Reporter schwätzte die ganze Zeit, nach zwei Minuten wurde abgebrochen und das alles fand in einem lärmigen McDonalds-“Restaurant“ statt. Unter regulären Umständen sollte ein Mathematikstudent nach einer Minute die Aufgabe verstanden haben, nach zwei Minuten den Lösungsweg wissen und nach fünf Minuten mit dem Aufschreiben fertig sein. Wen die Lösung interessiert, hier mein Ergebnis: (Man sieht die Lösung, wenn man Strg-A auf der Tastatur drückt, d.h. die Seite markiert.)

Lösung:

(1)	In Dreierreihen bleiben zwei Schüler übrig:	3x+2=n
(2)	In Viererreihen bleiben zwei Schüler übrig:	4y+2=n
(3)	In Fünferreihen geht es auf:	5z=n

Man erkennt, dass es ein lineares Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit 4 Unbekannten ist. Damit ist das Gleichungssystem unterbestimmt, es gibt also zunächst unendlich viele Lösungen. Da die Schüler alle heil bleiben sollen, ist eine Nebenbedingung, dass x, y, z, n ganzzahlig sein müssen. „Dorfschule“ impliziert, dass die Lösung mit der kleinsten Schülerzahl n gesucht wird.

Aus Gleichung (3) erkennt man, dass die Schülerzahl n durch 5 teilbar sein muss. Da Gleichung (2) uns sagt, dass n eine gerade Zahl sein muss, kommen 10, 20, 30, ... in Betracht.

Den Rest liefert die Methode des scharfen Hinsehens:

• n-2 muss nach (1) durch 3 teilbar sein. Das leistet die Folge 18, 48, 78, 108, ...
• n-2 muss nach (2) aber auch durch 4 teilbar sein. Das ist mit der Folge 8, 28, 48, 68, 88, 108, ... erfüllt.
• Bei 48 ist beides zum ersten Mal erfüllt (n=50), bei 108 das zweite Mal (n=110) und so weiter mit einer Periode von 60. Wegen der „Dorfschule“ ist die kleinste Lösung n=50 die gesuchte.

Wenn man soweit gekommen ist, kann man noch ergänzen:

• n-2 muss wegen der Teilbarkeit durch 3 und 4 selbst durch 12 teilbar sein.
• Die Periode von 60 ergibt sich wegen den Teilbarkeitsbedingungen für 3, 4 und 5 aus 3*4*5=60

Kategorie: Mathematik & Logik