Das Mathematik studierende Topmodel
Normalerweise lese ich ja Artikel über sogenannte "Top"models nicht, aber wenn „Matherätsel“ in der Überschrift steht, interessiert es mich doch. Der Zusammenhang zwischen Intelligenz und Schönheit gehört zu den am wenigsten untersuchten Phänomenen, was wohl vor allem an dem seltenen gemeinsamen Auftreten dieser beiden Persönlichkeitsattribute liegen wird. Die junge Frau in dem Telepolisartikel Das Topmodel, das Matherätsel und die toten Gewerkschafter studiert Mathematik und sollte das folgende Rätsel lösen:
Ich denke, unter den gegebenen Umständen hatte sie keine Chance es herauszubekommen: Die Aufgabe wurde vorgelesen, sie hatte nichts zu schreiben, der Reporter schwätzte die ganze Zeit, nach zwei Minuten wurde abgebrochen und das alles fand in einem lärmigen McDonalds-“Restaurant“ statt. Unter regulären Umständen sollte ein Mathematikstudent nach einer Minute die Aufgabe verstanden haben, nach zwei Minuten den Lösungsweg wissen und nach fünf Minuten mit dem Aufschreiben fertig sein. Wen die Lösung interessiert, hier mein Ergebnis: (Man sieht die Lösung, wenn man Strg-A auf der Tastatur drückt, d.h. die Seite markiert.)
Die Kinder einer Dorfschule werden aufgefordert, sich in Dreierreihen auf dem Schulhof aufzustellen. Da zwei Kinder übrig bleiben, ordnet der Lehrer an, sie sollen sich in Viererreihen aufstellen. Wieder bleiben zwei Kinder übrig und der Lehrer ordnet an, sie sollen sich in Fünferreihen aufstellen. Jetzt geht es auf. Wie viele Kinder sind in der Schule?Die Telepolismannschaft hat das Ganze in einem Video festgehalten:
Ich denke, unter den gegebenen Umständen hatte sie keine Chance es herauszubekommen: Die Aufgabe wurde vorgelesen, sie hatte nichts zu schreiben, der Reporter schwätzte die ganze Zeit, nach zwei Minuten wurde abgebrochen und das alles fand in einem lärmigen McDonalds-“Restaurant“ statt. Unter regulären Umständen sollte ein Mathematikstudent nach einer Minute die Aufgabe verstanden haben, nach zwei Minuten den Lösungsweg wissen und nach fünf Minuten mit dem Aufschreiben fertig sein. Wen die Lösung interessiert, hier mein Ergebnis: (Man sieht die Lösung, wenn man Strg-A auf der Tastatur drückt, d.h. die Seite markiert.)
Lösung:Kategorie: Mathematik & Logik
(1) In Dreierreihen bleiben zwei Schüler übrig: 3x+2=n (2) In Viererreihen bleiben zwei Schüler übrig: 4y+2=n (3) In Fünferreihen geht es auf: 5z=n
Man erkennt, dass es ein lineares Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit 4 Unbekannten ist. Damit ist das Gleichungssystem unterbestimmt, es gibt also zunächst unendlich viele Lösungen. Da die Schüler alle heil bleiben sollen, ist eine Nebenbedingung, dass x, y, z, n ganzzahlig sein müssen. „Dorfschule“ impliziert, dass die Lösung mit der kleinsten Schülerzahl n gesucht wird.
Aus Gleichung (3) erkennt man, dass die Schülerzahl n durch 5 teilbar sein muss. Da Gleichung (2) uns sagt, dass n eine gerade Zahl sein muss, kommen 10, 20, 30, ... in Betracht.
Den Rest liefert die Methode des scharfen Hinsehens:Wenn man soweit gekommen ist, kann man noch ergänzen:
- n-2 muss nach (1) durch 3 teilbar sein. Das leistet die Folge 18, 48, 78, 108, ...
- n-2 muss nach (2) aber auch durch 4 teilbar sein. Das ist mit der Folge 8, 28, 48, 68, 88, 108, ... erfüllt.
- Bei 48 ist beides zum ersten Mal erfüllt (n=50), bei 108 das zweite Mal (n=110) und so weiter mit einer Periode von 60. Wegen der „Dorfschule“ ist die kleinste Lösung n=50 die gesuchte.
- n-2 muss wegen der Teilbarkeit durch 3 und 4 selbst durch 12 teilbar sein.
- Die Periode von 60 ergibt sich wegen den Teilbarkeitsbedingungen für 3, 4 und 5 aus 3*4*5=60
Freitag, 31.August 2007
Wie damals im Matheunterricht
Ich habe mir erstmal die Situation bildhaft vorgestellt - und dann stand mir "irgendwie" eine Zahl vor Augen. (Ich verrate nicht welche; ich will niemanden den Spaß verderben). Ich probierte aus, ob die Bedingungen für diese Zahl erfüllt sind - und es kam hin! (Lösungszeit. unter einer Minute.)
Daraus ergibt sich das Problem unzähliger Mathestunden: "Deine Lösung ist richtig - aber wie sieht Dein Lösungsweg aus?" - Da musste ich entweder passen - oder sozusagen "rückwärts" einen Weg finden, bei dem ich ohne "Intuition" - oder "Raten" auskam.
Das und der Frust daraus sorgte dafür, dass ich in Mathe nicht mehr über eine "3" hinaus kam.
(Meine Mitmenschen wunders sich übrigens noch heute manchmal, dass ich einerseits ziemlich komplizierte Dinge "im Kopf ausrechne", anderseits manchmal schon beim Einkaufen "Kopfrechenprobleme" bekomme.
Was mir kürzlich passiert ist: Ich wusste bei mehreren Multiple-choice-Aufgaben die richtige Lösung und habe später bei der Auswertung verblüfft festgestellt, dass meine Hand andere angekreuzt hat. Was sagt mir das über das Verhältnis zwischen meinem Kopf und meiner Hand? Beim Nachdenken darüber habe ich mir unbewusst mit der Hand am Kopf gekratzt.
Ich bin eigentlich...
Mir erging es früher ähnlich wie MMarheinecke und fand es immer ungerecht, wenn bei der richtigen Lösung (ohne Lösungsweg) immer das "Abschreiben" angenommen wurde und diese nicht galt (oder nur ein Drittel der Punkte brachte).
Ähnlich wie Köppnick...
Die Gleichungen genau so auf gestellt (auch mit den gleichen Variablen x, y, z und n: drollig!),
dann folgende Überlegung: Es muss eine Zahl aus der "Fünferreihe" sein (5, 10, 15,...), die aber wg. "4y+2=n" gerade ist. Daher kommen nur Lösungen aus der Zehnerreihe in Betracht, die habe ich dann schnell durchgerechnet, indem ich geschaut habe, ob n-2 durch drei teilbar ist (Quersumme durch drei teilbar).
@DHK
Was mir noch aufgefallen ist, dass keiner von uns ein explizites Lösungsverfahren aufschreiben konnte. Das lineare Gleichungssystem steht ja für unendlich viele Lösungen, Punkte auf einer Geraden, und wird erst durch zwei Nebenbedingungen eindeutig: Kleinste Lösung im Bereich der natürlichen Zahlen. Aber so weit reicht die Mathematikausbildung bei Ingenieuren und Informatikern nicht.
Deshalb dann Plan B: Abzählen, so wie man es programmtechnisch ad hoc auch umsetzen würde.
@Köppnick
Ein bisschen weiter reichte sie schon: Mir war klar,
- dass ich es mit einem diophantischen Gleichungssystem zu tun hatte,
- dass es nur lineare diophantische Gleichungen sind,
- dass es aber auch dafür kein allgemeines Lösungsverfahren gibt und
- dass selbst bei Lösbarkeit das Verfahren dafür recht komplex ist.
Aber vielleicht macht das den Nichtmathematiker aus: In Kürze zu sehen, dass ein Problem mit Nichtstandardmethoden lösbar sein muss (Schulklassen pflegen<100 Schüler zu haben, also kommt man mit ca. 10-mal Teilbarkeiten testen hin).
Ich habe sowohl nach "diophantische Gleichung" als auch nach "~system" gegoogelt. Letzteres lieferte den folgenden Link: alpha 2005. Ich glaube, die 30 € ist mir das Programm wert.
Was die allgemeine Lösbarkeit eines linearen Systems betrifft, so ist sie wohl doch gegeben: Man macht aus dem Gleichungssystem eine einzelne Gleichung, wobei der normale Formalismus für lineare Gleichungssysteme angewendet werden kann. Für die entstehende Einzelgleichung gibt es dann Lösungsverfahren, von der Wikipedia führt sogar ein Link zu einem Online-Löser.
@Köppnick
Die Gleichung ax + ny = 1 ist lösbar genau dann, wenn ggT(a; n) = 1
(Beweis z.B. hier http://www.saar.de/~awa/infsek1/diophant.htm)
;-)
Einfacherer Beweis, dass lineare diophantische Gleichungen NICHT allgemein lösbar sind:
Die Gleichung
2x = 2y+1
verlangt, dass eine gerade Zahl gleich einer ungeraden Zahl sein soll.
Dies ist natürlich nicht möglich, daher ist die Gleichung unlösbar.
QED
Ich habe mir jetzt auf die Schnelle den Beweis nicht angesehen, vermute aber, dass es daran liegt, dass, wenn die Koeffizienten nicht prim zueinander sind, man durch eine Linearkombination von ihnen nicht jede ganze bzw. natürliche Zahl erreicht. Zum Beispiel kommt man durch eine Linearkombination zweier gerader Zahlen (im ggT steckt dann immer eine 2) nicht an die ungeraden Zahlen heran.
Ups - während ich geschrieben habe, hast du deinen Kommentar ergänzt - mit einem äquivalenten Beispiel. Die Gene, sagte ich ja bereits.
@Köppnick
Sorry, ich hatte
"Was die allgemeine Lösbarkeit eines linearen Systems betrifft, so ist sie wohl doch gegeben" so verstanden, dass jedes lineare diophantische Gleichungssystem lösbar sei.
Mein Fehler.
abgekürzter Lösungsweg
Meine Denkweise sieht so aus:
3 und 4 sind teilerfremd und bei beiden bleibt der gleiche Rest. Daher bleibt auch bei 12 ein Rest von 2.
Aufgrund der Teilbarkeit durch 5 kann die Endziffer einer Multiplikation von 12*n nur 3 (5-2) oder 8 (0-2) sein. Eine Zahl mit der Endziffer 3 scheidet aber aus, weil dann die Zahl nicht durch 4 teilbar wäre.
Also muss die Endziffer der gewünschten 12er-Multiplikation 8 betragen.
48, 108, 168 etc.
Die kleinste und realistischeste Zahl in bezug auf die Dorfschule ist also 48 plus 2 (den Rest habe ich nur vorläufig vergessen).
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P.S. Die Aussage über die Teilerfremdheit ist nur deswegen notwendig, weil das Beispiel auch so funktionieren würde, wenn die Kinder sich zuerst in 12er und dann in 6er-Reihen aufstellen müssten. Dann würde man mit der gleichen Überlegung erst 110 als kleinsten Wert für die Schulklasse finden. Tatsächlich gilt aber auch in diesem Fall 50 als Resultat. Eben, weil es nicht notwendig ist, das Produkt aus den Angaben zu nehmen sondern nur die notwendigen Primfaktoren multiplizieren muss. Usw ...
Mit der Kenntnis des 12 Einmaleins, dass ich noch in der Schule lernen musste, war die Lösung der Aufgabe sicher schneller als in 30 Sekunden bewerkstelligt. Gestoppt habe ich allerdings nicht.