Kwaku Ananse

In der Geo 4/2007 findet sich ein ganz tolles Interview mit dem Mathematikprofessor Rudolf Taschner. Ein Ausriß:

Bei diesem Ringen um Aufklärung hat die Mathematik ein beachtliches Gebäude aus Sätzen und Regeln gezimmert. Das alles ruht auf dem Fundament der Zahlen. Ist denn auch eine völlig andere Art der Mathematik auf einer komplett anderen Grundlage vorstellbar?
Der deutsche Mathematiker Leopold Kronecker hat gesagt: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere in der Mathematik ist Menschenwerk. Ich glaube, an den ganzen Zahlen, wie wir sie kennen – also eins, zwei, drei – führt kein Weg vorbei.
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Was eigentlich ist überhaupt eine Zahl? Gibt es die Eins, die Zwei wirklich, losgelöst von den Gegenständen, die sie beziffern?
Die Aussage „es gibt“ hat in der Geschichte der Mathematik für reichlich Verwirrung gesorgt. Auch heute sind sich die Mathematiker über die Bedeutung nicht einig. Die meisten lassen sich zwei Denkrichtungen zuordnen. Da sind erstens die Formalisten. Sie definieren ein System grundlegender Sätze, wir sagen Axiome dazu, die sie als richtig annehmen. Aus denen leiten sie alles andere her. Das heißt, die Formalisten müssen an die Axiome glauben. Die Mathematik wird damit zu einem Spiel ohne Bezug zur Wirklichkeit. Und Erkenntnisse sind für diese Schule höchstens richtig, also ableitbar, aber nie wahr.

Und die zweite Denkrichtung?
Das sind die Platonisten. Sie glauben an das Vorhandensein mathematischer Objekte. Wie es Schafe, Rosen und Sterne gibt, gibt es in ihrer Sicht auch geometrische Figuren und Zahlen. Sogar unendlich viele Zahlen existieren für sie wie selbstverständlich. Dass diese Unendlichkeit weder sinnlich zu erfahren noch wissenschaftlich zu belegen ist, stört sie nicht weiter. Der Mathematikunterricht gängelt Schüler und Studenten fast unmerklich in diese Richtung.

Zu welcher Schule bekennen Sie sich?
Ich bevorzuge eine dritte Position, die intuitionistische oder konstruktive Mathematik. Eine Schule, der nur sehr wenige Kollegen angehören. Für uns existiert ein mathematisches Objekt, wenn es sich unter Zuhilfenahme der Zahlen 1, 2, 3 usw. konstruieren lässt. Und diese Zahlen existieren für uns Menschen intuitiv. Jedermann kennt sie, und jedermann kann lernen, wie man damit rechnet. Schon Babys haben eine Vorstellung davon. Letztlich bleiben uns nur die ganzen Zahlen, sie sind das Sicherste, was wir haben.

Pythagoras sagte, „alles ist Zahl“, und war überzeugt, die gesamte Welt sei durch arithmetische Strukturen bestimmt. Gibt ihm die Effizienz der Mathematik nicht recht?
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Stellen Sie sich vor, sie haben eine Gerade, auf der sie Zahlen markieren wie auf einem Lineal. Sie tragen Zentimeter, Millimeter, Zehntelmillimeter und so weiter ein. Aber die Gerade bleibt immer noch eine Gerade. Sie ist gleichsam der Hintergrund, und vorn stehen die Zahlen als Kulisse. Man möchte den Hintergrund selbst zu fassen bekommen. Man kommt ihm mit den Zahlen immer näher, aber man wird ihn nie ganz erreichen. Es bleibt ein Rest.

Geht die Mathematik also zu weitin der Digitalisierung der Welt?
Die Mathematik hat die Aufgabe, dem Hintergrund möglichst nahe zu kommen. Wenn sie aber erklärt, auch dieser Hintegrund sei ein digitales Objekt, maßt sie sich zu viel an.

Wirklich wunderschön, auch die Widersprüche. Einige davon: Auch von den „uns intuitiv zugänglichen“ ganzen Zahlen gibt es unendlich viele, wenn auch nur „abzählbar unendlich“. Wie bekommt man die Zehntelmillimeter und ihre immer kleinere Fortsetzung in die ganzen Zahlen hinein? Was ist mit der Gerade selbst? Element der platonischen Wirklichkeit, axiomatisches Objekt der Formalisten oder a priori außermathematischer Hintergrund der Welt?

Aber der mathematische Wahnsinn kommt wirklich schleichend in die Welt galoppiert, der normale Schüler ahnt gar nichts von den Abgründen weit hinter dem Horizont der Schulmathematik, dort wo sich das abzählbar Unendliche ins Überabzählbare öffnet. Die Wikipedia schreibt: „Eine Menge heißt überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist. ... Anschaulich gesprochen ist eine Menge überabzählbar, wenn jede Liste von Elementen der Menge unvollständig ist.“ Genauso habe ich mir das auch immer erklärt. Aber mit der Vorstellbarkeit ist das sowieso so eine Sache. Schaut man sich die Definition der Kardinalzahl an, dann liest man ganz unten auf der Wikipedia-Seite: "Kategorien: Wikipedia:Unverständlich". Das finde ich nun aber nicht nicht auch nicht, wirklich nicht!

Kategorien: Mathematik & Logik